Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，△PAD是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E是线段AD的中点．
（1）试在线段AB上找一点F，使平面PCF⊥平面PBE，并说明理由；
（2）在（1）的条件下，求二面角E-PC-F的余弦值．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）首先找出点FA所在的位置，进一步利用线面垂直的判定与性质的应用，面面垂直的判定，来说明结论成立．
（2）根据图形的特点建立空间直角坐标系，进一步求出平面的法向量，利用向量的夹角公式求出，二面角的余弦值．

解答： 解：取点F为线段AB的中点，使得使平面PCF⊥平面PBE．
理由：在四棱锥P-ABCD中，E是线段AD的中点．
连接PE，平面PAD⊥平面ABCD，
所以：PE⊥平面ABCD．
做AB的中点F，在底面ABCD中，底面ABCD是正方形，△PAD是等边三角形，
所以：△ABE≌△BCF
则：∠ABE=∠BCF
所以：∠EBC+∠BCF=90°
则：BE⊥CF，
由于：PE⊥平面ABCD，
所以：PE⊥CF，
所以：CF⊥平面PBE
CF?平面PCF，
所以：平面PCF⊥平面PBE．
（2）建立空间直角坐标系E-xyz，设正方形ABCD的边长为2，则
得到：E（0，0，0），A（1，0，0），B（1，2，0），C（-1，2，0），F（1，1，0），P（0，0，

3

），
D（-1，0，0），
则：

CF

=(2，-1，0)，

PF

=(1，1，-

3

)，
连接DF，得到DF⊥平面PEC
所以：

DF

可以看做是平面PEC的法向量．

DF

=(2，1，0)，
设平面PCF的法向量为

n

=（x，y，z）
则：

CF • n =0 DF • n =0

解得：

n

=(1，2，

3

)
所以：设二面角E-PC-F的平面角为θ
则：cosθ=

DF • n

| DF || n |

=

4

5 8

=

10

5

所以：二面角E-PC-F的余弦值为

10

5

．

点评：本题考查的知识要点：线面垂直的判定与性质的应用，面面垂直的判定，二面角的应用，法向量，空间直角坐标系的应用，向量的夹角公式的应用．