Question

4．已知函数f（x）=lnx+ax²+（2-2a）x+$\frac{1}{4a}$（a＞0），若存在三个不相等的正实数x₁，x₂，x₃，使得$\frac{{f（{x_1}）}}{x_1}=\frac{{f（{x_2}）}}{x_2}=\frac{{f（{x_3}）}}{x_3}$=3成立，则a的取值范围是（$\frac{1}{2e}$，$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$）．

Answer 1

分析 若存在三个不相等的正实数x₁，x₂，x₃，使得$\frac{{f（{x_1}）}}{x_1}=\frac{{f（{x_2}）}}{x_2}=\frac{{f（{x_3}）}}{x_3}$=3成立，等价为方程f（x）=3x存在三个不相等的实根，构造函数，求函数的导数，研究函数的极值，利用极大值大于0，极小值小于0，即可得到结论．

解答 解：若存在三个不相等的正实数x₁，x₂，x₃，使得$\frac{{f（{x_1}）}}{x_1}=\frac{{f（{x_2}）}}{x_2}=\frac{{f（{x_3}）}}{x_3}$=3成立，
即方程f（x）=3x存在三个不相等的实根，
即lnx+ax²+（2-2a）x+$\frac{1}{4a}$=3x，lnx+ax²-（1+2a）x+$\frac{1}{4a}$=0有三个不相等的实根，
设g（x）=lnx+ax²-（1+2a）x+$\frac{1}{4a}$，
则函数的导数g′（x）=$\frac{1}{x}$+2ax-（1+2a）=$\frac{2a{x}^{2}-（1+2a）x+1}{x}$=$\frac{（2ax-1）（x-1）}{x}$，
由g′（x）=0得x=1，x=$\frac{1}{2a}$，
则g（1）=a-1-2a+$\frac{1}{4a}$=-1-a+$\frac{1}{4a}$，
g（$\frac{1}{2a}$）=ln$\frac{1}{2a}$+a（$\frac{1}{2a}$）²-（1+2a）$\frac{1}{2a}$+$\frac{1}{4a}$=-1-ln2a．
若$\frac{1}{2a}$=1，即a=$\frac{1}{2}$时，g′（x）=$\frac{（x-1）^{2}}{x}$≥0，此时函数g（x）为增函数，不可能有3个根，
若$\frac{1}{2a}$＞1，即0＜a＜$\frac{1}{2}$时，由g′（x）＞0得x＞$\frac{1}{2a}$或0＜x＜1，此时函数递增，
由g′（x）＜0得1＜x＜$\frac{1}{2a}$，此时函数递减，
则当x=1时函数g（x）取得极大值g（1）=-1-a+$\frac{1}{4a}$，
当x=$\frac{1}{2a}$时函数g（x）取得极小值g（$\frac{1}{2a}$）=-1-ln2a，
此时满足g（1）=-1-a+$\frac{1}{4a}$＞0且g（$\frac{1}{2a}$）=-1-ln2a＜0，
即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-（4{a}^{2}+4a-1）}{4a}＞0}\\{ln2a＞-1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{4{a}^{2}+4a-1＜0}\\{2a＞\frac{1}{e}}\end{array}\right.$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-1-\sqrt{2}}{2}＜a＜\frac{-1+\sqrt{2}}{2}}\\{a＞\frac{1}{2e}}\end{array}\right.$，解得$\frac{1}{2e}$＜a＜$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$．
同理若$\frac{1}{2a}$＜1，即a＞$\frac{1}{2}$时，由g′（x）＞0得x＞1或0＜x＜$\frac{1}{2a}$，此时函数递增，
由g′（x）＜0得$\frac{1}{2a}$＜x＜1，此时函数递减，
则当x=1时函数g（x）取得极小值g（1）=-1-a+$\frac{1}{4a}$，
当x=$\frac{1}{2a}$时函数g（x）取得极大值g（$\frac{1}{2a}$）=-1-ln2a，
此时满足g（1）=-1-a+$\frac{1}{4a}$＜0且g（$\frac{1}{2a}$）=-1-ln2a＞0，
即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-（4{a}^{2}+4a-1）}{4a}＜0}\\{ln2a＜-1}\end{array}\right.$，
∵a＞$\frac{1}{2}$，∴2a＞1，则ln2a＞0，则不等式ln2a＜-1不成立，即此时不等式组无解，
综上$\frac{1}{2e}$＜a＜$\frac{\sqrt{2}-1}{2}$．
故答案为：$（\frac{1}{2e}，\frac{{\sqrt{2}-1}}{2}）$

点评 本题主要考查导数的综合应用，根据条件转化为方程f（x）=3x存在三个不相等的实根，构造函数，利用导数研究函数的极值是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．