Question

19．已知抛物线$y=\frac{1}{8}{x^2}$与双曲线$\frac{y^2}{a^2}-{x^2}=1（a＞0）$有共同的焦点F，O为坐标原点，P在x轴上方且在双曲线上，则$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{FP}$的最小值为（　　）

• A． $3-2\sqrt{3}$
• B． $2\sqrt{3}-3$
• C． $-\frac{7}{4}$
• D． $\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 抛物线$y=\frac{1}{8}{x^2}$，可得x²=8y，焦点F为（0，2），则双曲线$\frac{y^2}{a^2}-{x^2}=1（a＞0）$的c=2，可得双曲线方程，利用向量的数量积公式，结合配方法，即可求出$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{FP}$的最小值．

解答 解：抛物线$y=\frac{1}{8}{x^2}$，可得x²=8y，焦点F为（0，2），则双曲线$\frac{y^2}{a^2}-{x^2}=1（a＞0）$的c=2，
则a²=3，即双曲线方程为$\frac{{y}^{2}}{3}-{x}^{2}=1$，
设P（m，n）（n≥$\sqrt{3}$），则n²-3m²=3，∴m²=$\frac{1}{3}$n²-1，
则$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{FP}$=（m，n）•（m，n-2）=m²+n²-2n=$\frac{1}{3}$n²-1+n²-2n=$\frac{4}{3}$（n-$\frac{3}{4}$）²-$\frac{7}{4}$，
因为n≥$\sqrt{3}$，故当n=$\sqrt{3}$时取得最小值，最小值为3-2$\sqrt{3}$，
故选：A．

点评 本题考查抛物线、双曲线的方程与性质，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．