Question

14．设F₁，F₂是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的两个焦点，P在双曲线上，若$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=0$，$|{\overrightarrow{P{F_1}}}|•|{\overrightarrow{P{F_2}}}|=2ac$（c为半焦距），则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}$
• C． 2
• D． $\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}=0$，可得△PF₁F₂是直角三角形，由勾股定理得（2c）²=|PF₁|²+|PF₂|²=|PF₁-PF₂|²-2|PF₁||PF₂|=4a²-4ac，即可求出双曲线的离心率．

解答 解：由题意得，△PF₁F₂是直角三角形，
由勾股定理得（2c）²=|PF₁|²+|PF₂|²=|PF₁-PF₂|²-2|PF₁||PF₂|=4a²-4ac，
∴c²-ac-a²=0，
∴e²-e-1=0，
∵e＞1，
∴e=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的离心率，考查勾股定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．