Question

11．在△ABC中，c=5，b=2$\sqrt{6}$，a=$\frac{{3\sqrt{6}}}{2}$cosA．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求证：∠B=2∠A．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据余弦定理化简a=$\frac{{3\sqrt{6}}}{2}$cosA，把数据代入化简求出a的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出cosA的值，由二倍角公式求出cos2A的值，由余弦定理求出cosB的值，根据边的大小关系判断出角的范围，即可得到结论．

解答 解：（Ⅰ）因为 $a=\frac{{3\sqrt{6}}}{2}cosA$，所以 $a=\frac{{3\sqrt{6}}}{2}×\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}$，
因为c=5，$b=2\sqrt{6}$，所以3a²+40a-49×3=0，
解得：a=3或$a=-\frac{49}{3}$（舍）．…（6分）
证明：（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：$cosA=\frac{2}{{3\sqrt{6}}}×3=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
所以$cos2A=2{cos^2}A-1=\frac{1}{3}$，
因为a=3，c=5，$b=2\sqrt{6}$，
所以$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=\frac{1}{3}$，
所以cos2A=cosB．…（12分）
 因为 c＞b＞a，所以 $A∈（0，\frac{π}{3}）$，
 因为 B∈（0，π），所以∠B=2∠A．…（13分）

点评 本题考查了余弦定理，二倍角公式的应用，以及边角的关系，属于中档题．