Question

17．如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛B与小岛A、小岛C相距都为5n mile，与小岛D相距为$3\sqrt{5}$n mile．小岛A对小岛B与D的视角为钝角，且$sinA=\frac{3}{5}$．
（Ⅰ）求小岛A与小岛D之间的距离和四个小岛所形成的四边形的面积；
（Ⅱ）记小岛D对小岛B与C的视角为α，小岛B对小岛C与D的视角为β，求sin（2α+β）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用余弦定理求出，AD，CD，即可求小岛A与小岛D之间的距离和四个小岛所形成的四边形的面积；
（Ⅱ）求出sin（α+β），cos（α+β），利用和角的三角函数公式求sin（2α+β）的值．

解答 解：（Ⅰ）∵$sinA=\frac{3}{5}$，且角A为钝角，∴$cosA=-\sqrt{1-{{（\frac{3}{5}）}^2}}=-\frac{4}{5}$．
在△ABD中，由余弦定理得：AD²+AB²-2AD•AB•cosA=BD²．
∴$A{D^2}+{5^2}-2AD•5•（-\frac{4}{5}）={（3\sqrt{5}）^2}$⇒AD²+8AD-20=0．
解得AD=2或AD=-10（舍）．
∴小岛A与小岛D之间的距离为2n mile．…（2分）
∵A，B，C，D四点共圆，∴角A与角C互补．
∴$sinC=\frac{3}{5}$，$cosC=cos（{180°}-A）=-cosA=\frac{4}{5}$．
在△BDC中，由余弦定理得：CD²+CB²-2CD•CB•cosC=BD²．
∴$C{D^2}+{5^2}-2CD•5•\frac{4}{5}={（3\sqrt{5}）^2}$⇒CD²-8CD-20=0．
解得CD=-2（舍）或CD=10．…（4分）
∴S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△BCD
=$\frac{1}{2}AB•AD•sinA+\frac{1}{2}CB•CD•sinC$=$\frac{1}{2}×5×2×\frac{3}{5}+\frac{1}{2}×5×10×\frac{3}{5}$=3+15=18．
∴四个小岛所形成的四边形的面积为18平方n mile．…（6分）
（Ⅱ）在△BDC中，由正弦定理得：$\frac{BC}{sinα}=\frac{BD}{sinC}$$⇒\frac{5}{sinα}=\frac{{3\sqrt{5}}}{{\frac{3}{5}}}$$⇒sinα=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．
∵DC²+DB²＞BC²，∴α为锐角，∴$cosα=\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$．…（7分）
又∵$sin（α+β）=sin（{180°}-C）=sinC=\frac{3}{5}$，$cos（α+β）=cos（{180°}-C）=-cosC=-\frac{4}{5}$．…（8分）
∴sin（2α+β）=sin[α+（α+β）]…（10分）
=sinαcos（α+β）+cosαsin（α+β）=sinαcos（α+β）+cosαsin（α+β）
=$\frac{{\sqrt{5}}}{5}×（-\frac{4}{5}）+\frac{{2\sqrt{5}}}{5}×\frac{3}{5}$=$\frac{{2\sqrt{5}}}{25}$．…（12分）

点评 本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查和角的三角函数公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．