Question

8．（1）求证：$A_9^9-9A_8^8+8A_7^7=A_8^8$
（2）求${（{2{x^3}-\frac{1}{{4{x^3}}}}）^{10}}$的展开式的常数项．
（3）求（1+x+x²）（1+x）¹⁰的展开式中x⁴的系数．

Answer 1

分析 （1）利用阶乘公式，即可证明；
（2）根据题意${（{2{x^3}-\frac{1}{{4{x^3}}}}）^{10}}$的展开式通项为T_r+1=C₁₀^r（2x³）^10-r（-$\frac{1}{4{x}^{3}}$）^r=C₁₀^r•2^10-r•（-4）^-r（x）^30-6r，
令x的指数为0，可得r的值，即可得其展开式中的常数项为第6项，将r=5代入通项可得T₆，即可得答案；
（3）在（1+x+x²）（1+x）¹⁰的展开式中，含x⁴项是1×C₁₀⁴x⁴+x•C₁₀³x³+x²•C₁₀²x²，由此能求出其系数．

解答 （1）证明：左边=9！-9•8！+8•7！=9！-9！+8！=${A}_{8}^{8}$=右边，
∴$A_9^9-9A_8^8+8A_7^7=A_8^8$；
（2）解：根据题意${（{2{x^3}-\frac{1}{{4{x^3}}}}）^{10}}$的展开式通项为T_r+1=C₁₀^r（2x³）^10-r（-$\frac{1}{4{x}^{3}}$）^r=C₁₀^r•2^10-r•（-4）^-r（x）^30-6r，
令30-6r=0，可得r=5，即其展开式中的常数项为第6项，
则T₆=-$\frac{63}{8}$，即其展开式中的常数项为-$\frac{63}{8}$；
（3）解：1×C₁₀⁴x⁴+x•C₁₀³x³+x²•C₁₀²x²
=210x⁴+120x⁴+45x⁴
=375x⁴．
∴在（1+x+x²）（1+x）¹⁰的展开式中，含x⁴项的系数是375．

点评 本题考查二项式系数的性质，考查二项式定理的应用，解题的关键要正确写出并化简该二项式展开式的通项．