Question

9．设a₀，a₁，a₂，…，a_n成等差数列，求证：a₀+a₁C${\;}_{n}^{1}$+a₂C${\;}_{n}^{2}$+…+a_nC${\;}_{n}^{n}$=（a₀+a_n）2^n-1．

Answer 1

分析 利用等差数列的性质，结合组合数的性质，即可证明结论．

解答 证明：∵a₀，a₁，a₂，…，a_n成等差数列，
∴a₀+a_n=a₁+a_n-1=…=a_n+a₀，
∴a₀+a₁C${\;}_{n}^{1}$+a₂C${\;}_{n}^{2}$+…+a_nC${\;}_{n}^{n}$+a₀${C}_{n}^{n}$+a₁${C}_{n}^{n-1}$+…+a_n${C}_{n}^{0}$=（a₀+a_n）（${C}_{n}^{0}$+C${\;}_{n}^{1}$+C${\;}_{n}^{2}$+…+C${\;}_{n}^{n}$）=（a₀+a_n）2ⁿ，
∴a₀+a₁C${\;}_{n}^{1}$+a₂C${\;}_{n}^{2}$+…+a_nC${\;}_{n}^{n}$=（a₀+a_n）2^n-1．

点评 本题考查等差数列的性质、组合数的性质，比较基础．