Question

7．已知数列{a_n}满足：a₁=1，a_n=$\frac{1}{3}{a_{n-1}}+\frac{2}{{{3^{n-1}}}}-\frac{2}{3}（{n≥2}）$，设b_n=3^n-1（a_n+1）．
（Ⅰ）证明：{b_n}是等差数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知可得b_n-b_n-1=2，即可证明，
（II）由于通项是一个等差数列与一个等比数列的积构成的新数列，利用错位相减法求出数列的前n项和．

解答 解：（Ⅰ）证明：∵a₁=1，a_n=$\frac{1}{3}{a_{n-1}}+\frac{2}{{{3^{n-1}}}}-\frac{2}{3}（{n≥2}）$，
∴3a_n=a_n-1+$\frac{2}{{3}^{n-2}}$-2（n≥2），
∴b_n-b_n-1=3^n-1a_n+3^n-1-3^n-2a_n-1-3^n-2
=3^n-2（a_n-1+$\frac{2}{{3}^{n-2}}$-2-a_n-1）+2•3^n-2
=3^n-2（a_n-1+$\frac{2}{{3}^{n-2}}$-2-a_n-1+2）
=2．
∴则{b_n}是首项为2，公差为2的等差数列．
（Ⅱ）∵b_n=3^n-1（a_n+1）=2+（n-1）2，可解得：a_n=$\frac{2n}{{3}^{n-1}}-1$，
∴s_n=1+（$\frac{2×2}{3}-1$）+（$\frac{2×3}{{3}^{2}}$-1）+（$\frac{2×4}{{3}^{3}}$-1）+…+（$\frac{2n}{{3}^{n-1}}-1$）
=$\frac{2×2}{3}$+$\frac{2×3}{{3}^{2}}$+$\frac{2×4}{{3}^{3}}$+…+$\frac{2n}{{3}^{n-1}}$+2-n，①
3s_n=2×2+$\frac{2×3}{3}$+$\frac{2×4}{{3}^{2}}$+…+$\frac{2n}{{3}^{n-2}}$+6-3n，②
∴②-①可得：2s_n=$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{{3}^{2}}$+…+$\frac{2}{{3}^{n-2}}$-$\frac{2n}{{3}^{n-1}}$+8-2n，
∴s_n=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n-2}}$-$\frac{n}{{3}^{n-1}}$+4-n=$\frac{9}{2}$-$\frac{1}{2•{3}^{n-2}}$-n-$\frac{n}{{3}^{n-1}}$．

点评 本题主要考查了利用数列的递推公式构造等差数列求通项公式及数列的求和，属于中档题．