Question

2．已知定义域为R的奇函数f（x）满足f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{2x-3}（x＞2）\\{x^2}-2x+2（0＜x≤2）\end{array}$，下列说法：①当-1＜x₁＜x₂＜1时，f（x₁）＞f（x₂）；②直线y=x与函数f（x）的图象有5个交点；③当x∈（0，a]时，f（x）的最小值为1，则a∈[1，$\frac{5}{2}$]；④关于x的两个方程f（x）=$\frac{3}{2}$与f（x）=b所有根的和为0，则b=-$\frac{3}{2}$；其中正确的有②③．

Answer 1

分析 ①根据函数奇偶性的性质，求出函数f（x）的解析式，判断当-1＜x₁＜x₂＜1时的函数的单调性．
②作出函数y=x的图象，利用数形结合进行判断．
③求出函数f（x）=1的根，判断a的取值范围即可．
④根据函数奇偶性的对称性进行判断．

解答 解：∵函数f（x）是奇函数，
∴若x＜-2，则-x＞2，则f（-x）=$\frac{2}{-2x-3}$=-f（x），
则f（x）=$\frac{2}{2x+3}$，x＜-2．
若-2≤x＜0，则0＜-x≤2，则f（-x）=x²+2x+2=-f（x），
即f（x）=-x²-2x-2，-2≤x＜0，
当x=0，则f（0）=0．
作出函数f（x）的图象如图：
①当-1＜x₁＜x₂＜1时，函数f（x）不是单调函数，则f（x₁）＞f（x₂）不成立；
②作出y=x的图象，则直线y=x与函数f（x）的图象有5个交点，成立．
③当x=$\frac{5}{2}$时，f（$\frac{5}{2}$）=$\frac{2}{2×\frac{5}{2}-3}$=$\frac{2}{5-3}=\frac{2}{2}=1$，
则当x∈（0，a]时，f（x）的最小值为1，则a∈[1，$\frac{5}{2}$]，则成立．
④∵函数f（x）是奇函数，若关于x的两个方程f（x）=$\frac{3}{2}$与f（x）=b所有根的和为0，
∴函数f（x）=$\frac{3}{2}$的根与f（x）=b根关于原点对称，
则b=-$\frac{3}{2}$，
但x＞0时，方程f（x）=$\frac{3}{2}$有3个根，
设分别为x₁，x₂，x₃，且0＜x₁＜x₂＜2＜x₃，
则有$\frac{2}{2x-3}$=$\frac{3}{2}$得x=$\frac{13}{6}$，即x₃=$\frac{13}{6}$，
x₁+x₂₂=2，
则三个根之和为2+$\frac{13}{6}$=$\frac{25}{6}$，
若关于x的两个方程f（x）=$\frac{3}{2}$与f（x）=b所有根的和为0，
则f（x）=b的根为-$\frac{25}{6}$，
此时b=f（-$\frac{25}{6}$）=$\frac{2}{2•（-\frac{25}{6}）+3}$=-$\frac{6}{16}$=-$\frac{3}{8}$，
故④错误，
故答案为：②③．

点评 本题主要考查命题的真假判断，根据函数的奇偶性的性质，利用数形结合是解决本题的关键．