Question

1．已知$x+\frac{1}{x}=-1（{x∈C}）$，则${x^{2015}}+\frac{1}{{{x^{2015}}}}$的值为-1．

Answer 1

分析 先求出方程x+$\frac{1}{x}$=-1的根，结合复数的基本运算法则进行求解即可．

解答 解：由$x+\frac{1}{x}=-1（{x∈C}）$，得到x²+x+1=0，设方程的一个根为a+bi（a，b是实数）则另一个根为a-bi，所以$\left\{\begin{array}{l}{2a=-1}\\{{a}^{2}+{b}^{2}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=±\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，所以x=$-\frac{1}{2}±\frac{\sqrt{3}}{2}$i，
若x=$-\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i，则x²=$-\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$i，x³=1，则x²⁰¹⁵=x^671×3+2=x²=$-\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$i，
则${x^{2015}}+\frac{1}{{{x^{2015}}}}$=$-\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$i+$\frac{1}{-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i}$=$-\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$i+（$-\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i）=-1，
若x=$-\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$i，则x²=$-\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i，x³=1，则x²⁰¹⁵=x²=$-\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i，
则${x^{2015}}+\frac{1}{{{x^{2015}}}}$=$-\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i+$\frac{1}{-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i}$=$-\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i+（$-\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$i）=-1，
综上恒有则${x^{2015}}+\frac{1}{{{x^{2015}}}}$=-1，
故答案为：-1

点评 本题主要考查复数的基本运算，考查学生的运算能力．