Question

12．从自然数1，2，3…，1000中，最多可取出多少个数，使得所取出数中任意三个数之和能被18整除？

Answer 1

分析 根据带余除法法则计算即可．

解答 解：设a，b，c，d是所取出的数中的任意4个数，则a+b+c=18m，a+b+d=18n，其中m，n是自然数．
于是c-d=18（m-n）．
上式说明所取出的数中任意2个数之差是18的倍数，即所取出的每个数除以18所得的余数均相同．
设这个余数为r，则a=18a₁+r，b=18b₁+r，c=18c₁+r，其中a₁，b₁，c₁是整数．
于是a+b+c=18（a₁+b₁+c₁）+3r．
因为18|（a+b+c），所以18|3r，即6|r，推知r=0，6，12．
因为1000=55×18+10，
所以，从1，2，…，1000中可取6，24，42，…，996共56个数，它们中的任意3个数之和能被18整除．
故最多可取出56个数，使得所取出数中任意三个数之和能被18整除．

点评 本题考查了数的整除问题，若a，b是两个整数，b＞0，则存在两个整数q，r，使得a=bq+r（0≤r＜b），且q，r是唯一的，属于中档题．