Question

19．如图，在2×4的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，则向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$的夹角余弦值是-$\frac{4\sqrt{65}}{65}$．

Answer 1

分析 建立坐标系，求出向量的坐标，代入夹角公式计算．

解答 解：设每个小正方形的边长为1，建立如图所示的平面直角坐标系，
则$\overrightarrow{a}$=（2，-1），$\overrightarrow{b}$=（3，2）．
∴$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$=（5，1），$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$=（-1，-3）．
∴（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$）=-5-3=-8．|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{10}$，|$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{26}$．
∴向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$的夹角余弦值为$\frac{-8}{\sqrt{10}\sqrt{26}}$=-$\frac{4\sqrt{65}}{65}$．
故答案为：-$\frac{4\sqrt{65}}{65}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．