Question

9．如图所示，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，△ABC为正三角形，PA=AB，E是PC的中点，则异面直线AE和PB所成角的余弦值为（　　）

• A． $\frac{1}{6}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 取BC的中点F，连接EF，AF，得到∠AEF或其补角就是异面直线AE和PB所成角，由此能求出异面直线AE和PB所成角的余弦值．

解答 解：取BC的中点F，连接EF，AF
则EF∥PB，
∴∠AEF或其补角就是异面直线AE和PB所成角，
∵△ABC为正三角形，∴∠BAC=60°．
设PA=AB=2a，PA⊥平面ABC，
∴$AF=\sqrt{3}a，AE=\sqrt{2}a，EF=\sqrt{2}a$，
∴$cos∠AEF=\frac{{{{（\sqrt{2}a）}^2}+{{（\sqrt{2}a）}^2}-{{（\sqrt{3}a）}^2}}}{{2×\sqrt{2}a×\sqrt{2}a}}=\frac{1}{4}$．
∴异面直线AE和PB所成角的余弦值为$\frac{1}{4}$．
故选：B．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．