Question

已知正项数列{a_n}的首项a₁=m，其中0＜m＜1，函数．
（1）若正项数列{a_n}满足a_n+1=f（a_n）（n≥1且n∈N），证明是等差数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（2）若正项数列{a_n}满足a_n+1≤f（a_n）（n≥1且n∈N），数列{b_n}满足，试证明：b₁+b₂+…+b_n＜1．

Answer 1

解：（1）依题目条件有
所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，
所以，即．…（4分）
（2）由条件可知，∴，
即∴，∴，，，
叠加可得，而
∵0＜m＜1，∴，
∴，
∴，得证…（16分）．
分析：（1）通过函数的表达式，得到数列相邻两项的关系式，借助等差数列的定义，证明是等差数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（2）由条件可知，，利用叠加法，推出，证明，，
然后求和得到所证明的结论．
点评：本题考查数列的求和，等差关系的确定，累加法，裂项法的应用，考查逻辑推理能力，计算能力．