Question

20．已知三棱锥A-BCD中，AB=AC=BD=CD=2，BC=2AD，直线AD与底面BCD所成角为$\frac{π}{3}$，则此时三棱锥外接球的体积为（　　）

• A． 8π
• B． $\frac{\sqrt{2}π}{3}$
• C． $\frac{4\sqrt{2}π}{3}$
• D． $\frac{8\sqrt{2}}{3}$π

Answer 1

分析 如图所示，取BC的中点O，连接OA，OD．利用等腰三角形的性质可得：OD⊥BC，OA⊥BC，利用线面垂直的判定定理可得：BC⊥平面OAD，于是平面OAD⊥平面BCD，
可得∠ADO=$\frac{π}{3}$．可得△OAD是等边三角形，设AD=x，则OD=OC=OB=x，利用勾股定理可得x，可得点O是三棱锥A-BCD的外接球的球心，即可得出．

解答 解：如图所示，
取BC的中点O，连接OA，OD．
∵AB=AC=BD=CD=2，
∴OD⊥BC，OA⊥BC，
OA∩OD=O，
∴BC⊥平面OAD，
BC?平面BCD，
∴平面OAD⊥平面BCD，
平面OAD∩平面BCD=OD，
∴AD在平面BCD是射影是OD，
∴∠ADO=$\frac{π}{3}$．
又OA=OD，
∴△OAD是等边三角形，
设AD=x，则OD=OC=OB=x，
∴2x²=4，
∴x=$\sqrt{2}$，
∴点O是三棱锥A-BCD的外接球的球心，
因此外接球的半径R=$\sqrt{2}$．
∴外接球的体积V=$\frac{4}{3}π{R}^{3}$=$\frac{8\sqrt{2}π}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质定理、等腰与等边三角形的性质、线面角、三棱锥的外接球的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．