Question

18．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$+$\frac{2}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$（n=1，2，3，…），其前n项和为T_n，如果对任意的n∈N^*，都有T_n+2t≥t²成立，求T_n的表达式及实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用公式a_n=S_n-S_n-1求出通项公式，再验证n=1是否成立即可；
（2）使用等比数列的求和公式和裂项法求和得出T_n，判断T_n的增减性得出T_n的最小值，代入不等式即可得出t的范围．

解答 解：（1）n=1时，a₁=S₁=$\frac{1×2}{2}$=1，
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{n（n+1）}{2}-\frac{n（n-1）}{2}$=n，
显然，n=1时上式成立，
∴a_n=n．
（2）b_n=2ⁿ+$\frac{2}{n（n+1）}$=2ⁿ+2（$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$），
∴T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ+2[1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$]
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$+2（1-$\frac{1}{n+1}$）
=2ⁿ⁺¹-$\frac{2}{n+1}$，
∴{T_n}是递增数列，
∴n=1时，T_n取得最小值T₁=3，
∵对任意的n∈N^*，都有T_n+2t≥t²成立，
∴3+2t≥t²，
解得-1≤t≤3．

点评 本题考查了数列通项公式的求法，数列求和，不等式的解法，属于中档题．