Question

 设函数和都是定义在集合上的函数,对于任意的，都有

成立，称函数与在上互为“函数”.

（1）函数与在上互为“函数”，求集合；

（2）若函数(与在集合上互为 “函数”,

求证：；

（3）函数与在集合且，上互为“函数”，当时,，且在上是偶函数,求函数在集合上的解析式.

Answer 1

（1）由得 化简得，，或

解得或，，即集合

(若学生写出的答案是集合的非空子集，扣1分，以示区别。)

（2）证明：由题意得，（且）变形得，，由于且 因为，所以，即

（3）当，则，由于函数在上是偶函数

则所以当时，

由于与函数在集合上“ 互为函数”

所以当，恒成立,对于任意的()恒成立,即

所以,即

所以,当（）时,

所以当时，

………2分