Question

已知a₁=2

5

，a_n+1=

an2+5

2an

，求数列的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：本题可以先研究

an+1- 5

an+1+ 5

与

an- 5

an+ 5

的关系，再构造等比数列{lg

an- 5

an+ 5

}，由{lg

an- 5

an+ 5

}的通项公式，从而求出数列{a_n}的通项公式．

解答： 解：∵a₁=2

5

，a_n+1=

an2+5

2an

，
∴a_n＞0，a n＞

5

，

an+1- 5

an+1+ 5

=

an2+5 2an - 5

an2+5 2an + 5

=

an2-2 5 an+5

an2+2 5 an+5

=（

an- 5

an+ 5

）²，
∴lg

an+1- 5

an+1+ 5

=2lg

an- 5

an+ 5

．
∵a₁=2

5

，
∴lg

a1- 5

a1+ 5

=lg

1

3

．
∴数列{lg

an- 5

an+ 5

}是以lg

1

3

为首项，公式为2的等比数列，
∴lg

an- 5

an+ 5

=2^n-1lg

1

3

=lg（

1

3

） 2n-1．
∴

an- 5

an+ 5

=（

1

3

） 2n-1．
∴an=

2 5

1-3-2n-1

-

5

，n∈N^*．
∴数列{a_n}的通项公式为：an=

2 5

1-3-2n-1

-

5

，n∈N^*．

点评：本题考查了数列递推公式求通项，本题难度适中，属于中档题．