Question

【题目】如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD垂直于底面ABCD，AD=PD=2，

E、F分别为CD、PB的中点．

（1）求证：EF⊥平面PAB；

（2）设，求直线AC与平面AEF所成角θ的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）求出直线EF所在的向量，再求出平面内两条相交直线所在的向量，然后利用向量的数量积为0，根据线面垂直的判定定理得到线面垂直．

（2）求出平面的法向量以及直线所在的向量，再利用向量的有关运算求出两个向量的夹角，进而转化为线面角，即可解决问题．

解：以D为从标原点，DC、DA、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系D-xyz．设AB=a，

则A（0，2，0），B（a，2，0），C（a，0，0），D（0，0，0，），p（0，0，2），

（1）由题意可得：=0×0+1×2+1×（-2）=0，=0×a+1×2+1×（-2）=0

∴EF⊥PA，EF⊥PB．

∴EF⊥平面PAB．

（2）AB=2=（0，1，1）．

设平面AEF的法向量，

则

令y=1，则x=，所以

又．

所以sinθ= ．