Question

20．如图，已知四边形ABCD中AB∥CD，AD⊥AB，BP⊥AC，BP=PC，CD＞AB，则经过某种翻折后以下线段可能会相互重合的是（　　）

• A． AB与AD
• B． AB与BC
• C． BD与BC
• D． AD与AP

Answer 1

分析 设AB=a，∠CAB=θ，则AP=acosθ，PC=BP=asinθ，AC=a（cosθ+sinθ），AD=ACsinθ=a（cosθ+sinθ）sinθ，CD=ACcosθ=a（cosθ+sinθ）cosθ，因为CD＞AB，故cos²θ+sinθcosθ＞1，即$sin（2θ+\frac{π}{4}）＞\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，即$\frac{π}{4}＜2θ+\frac{π}{4}＜\frac{3π}{4}$，故$0＜θ＜\frac{π}{4}$．再对四个选项进行判断，即可得出结论．

解答 解：设AB=a，∠CAB=θ，则AP=acosθ，PC=BP=asinθ，AC=a（cosθ+sinθ），AD=ACsinθ=a（cosθ+sinθ）sinθ，CD=ACcosθ=a（cosθ+sinθ）cosθ，
因为CD＞AB，故cos²θ+sinθcosθ＞1，
即$sin（2θ+\frac{π}{4}）＞\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，即$\frac{π}{4}＜2θ+\frac{π}{4}＜\frac{3π}{4}$，故$0＜θ＜\frac{π}{4}$．
A选项：假设AB=AD，则有：sin²θ+sinθcosθ=1，即$sin（2θ-\frac{π}{4}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，无解．
B选项：假设AB=BC，则有：$\sqrt{2}sinθ=1$，即$sinθ=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，无解．
C选项：假设BD=BC，则有：$\sqrt{2}sinθ=\sqrt{1+{{sin}^2}θ{{（sinθ+cosθ）}^2}}$，即1+2sin³θcosθ=sin²θ，无解．
D选项：假设AD=AP，则有：sin²θ+sinθcosθ=cosθ，令$f（θ）={sin^2}θ+sinθcosθ-cosθ=\frac{1-cos2θ}{2}+\frac{sin2θ}{2}-cosθ$，则f′（θ）=sin2θ+cos2θ+sinθ＞0，又f（0）=-1＜0，$f（\frac{π}{4}）=1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}＞0$，故必存在θ₀使得：f（θ₀）=0，故AD与AP可能重合．
故选：D．

点评 本题考查图形的翻折，考查三角函数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．