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    【题目】如图，正方形中， ， 与交于点，现将沿折起得到三棱锥， ， 分别是， 的中点.

    (1)求证： ；

    (2)若三棱锥的最大体积为，当三棱锥的体积为，且二面角为锐角时，求二面角的正弦值.

    【答案】(1)证明见解析；(2) .

    【解析】试题分析：（1）根据折叠前几何关系得， ，再根据线面垂直判定定理得平面，即得；（2）先确定三棱锥的取最大体积的条件：三棱锥的高为，再根据三棱锥体积公式得三棱锥的体积为时条件： 平面，最后根据等体积法求三棱锥的体积.

    试题解析：(1)依题意易知， ， ，∴平面，

    又∵平面，∴.

    (2)当体积最大时三棱锥的高为，当体积为时，高为，

    中， ，作于，∴，∴，

    ∴为等边三角形，∴与重合，即平面，

    易知.

    ∵平面，∴，∴，

    ∴.

    练习册系列答案
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    【题目】如图， ， 为中点，且平面， .已知.

    （1）求直线与所成角；

    （2）求二面角的余弦值.

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    【题目】我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行调查，通过抽样，获得某年100为居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.

    （1）求直方图的的值；

    （2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由.

    （3）估计居民月用水量的中位数.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额如下表：

    商店名称

    A

    B

    C

    D

    E

    销售额x/千万元

    3

    5

    6

    7

    9

    利润额y/百万元

    2

    3

    3

    4

    5

    （1）画出散点图，观察散点图，说明两个变量是否线性相关；

    （2）用最小二乘法计算利润额y对销售额x的线性回归方程；

    （3）当销售额为4千万元时，估计利润额的大小.

    （参考公式：，）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】墙上有一壁画，最高点处离地面米，最低点处离地面米，距离墙米处设有防护栏，观察者从离地面高米的处观赏它.

    （1）当时，观察者离墙多远时，视角最大？

    （2）若，视角的正切值恒为，观察者离墙的距离应在什么范围内？

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】在圆内有一点,为圆上一动点，线段的垂直平分线与的连线交于点．

    （Ⅰ）求点的轨迹方程．

    （Ⅱ）若动直线与点的轨迹交于、两点，且以为直径的圆恒过坐标原点.问是否存在一个定圆与动直线总相切.若存在，求出该定圆的方程；若不存在，请说明理由.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知函数，其中为自然对数的底数．

    （Ⅰ）求的值；

    （Ⅱ）写出函数的单调递减区间(无需证明) ；

    （Ⅲ）若实数满足，则称为的二阶不动点，求函数的二阶不动点的个数．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】为了调查观众对某热播电视剧的喜爱程度，某电视台在甲、乙两地各随机抽取了8名观众作问卷调查，得分统计结果如图所示：

    （1）计算甲、乙两地被抽取的观众问卷的平均得分；

    （2）计算甲、乙两地被抽取的观众问卷得分的方差；

    （3）若从甲地被抽取的8名观众中再邀请2名进行深入调研，求这2名观众中恰有1人的问卷调查成绩在90分以上的概率.

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    【题目】某车间的一台机床生产出一批零件，现从中抽取8件，将其编为， ，…， ，测量其长度（单位： ），得到下表中数据：

    编号

    长度

    1.49

    1.46

    1.51

    1.51

    1.53

    1.51

    1.47

    1.51

    其中长度在区间内的零件为一等品.

    （1）从上述8个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；

    （2）从一等品零件中，随机抽取2个.

    ①用零件的编号列出所有可能的抽取结果；

    ②求这2个零件长度相等的概率.

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