Question

【题目】如图， ， 为中点，且平面， .已知.

（1）求直线与所成角；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（1）由且平面，建立以为原点， 为轴正方向， 为轴正方向， 为轴正方向的空间直角坐标系，再根据，得出与，从而可求出直线与所成角；（2）分别求出平面和平面的一个法向量，求出两法向量所成角的余弦值，可得二面角的余弦值.

试题解析：（1）因为且平面，则以为原点， 为轴正方向， 为轴正方向， 为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.

∵

∴， ， ， ， ， ，且， .

∴， .

∴和的夹角为.

（2）平面的法向量，设平面的法向量.

由， 且， ，

得，则，解得，

取，则.

∵二面角为锐二面角，记为

∴.

点晴：本题主要考查利用空间向量求二面角，利用空间向量求异面直线所成的角，属于难题. 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角.