Question

【题目】已知抛物线的焦点到直线的距离为.

(1)求抛物线的标准方程；

(2)设点是抛物线上的动点，若以点为圆心的圆在轴上截得的弦长均为4，求证：圆恒过定点.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)证明见解析.

【解析】试题分析：

(1)由题意可得抛物线的焦点坐标为，利用点到直线距离公式得到关于实数p的方程，解方程可得抛物线的标准方程是.

(2)设圆心的坐标为，半径为，由题意结合勾股定理有，则圆的标准方程整理变形可得，该方程对于任意的均成立，则据此可得圆过一定点为.

试题解析：

(1)由题意， ，焦点坐标为，

由点到直线的距离公式，得，

所以抛物线的标准方程是.

(2)设圆心的坐标为，半径为，圆在轴上截得的弦长为，

所以，

圆的标准方程： ，

化简得： ，①

对于任意的，方程①均成立，

故有： 解得： ，所以，圆过一定点为.