Question

【题目】已知动点E到点A与点B的直线斜率之积为，点E的轨迹为曲线C．

（1）求C的方程；

（2）过点D作直线l与曲线C交于， 两点，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）．

【解析】试题分析：

（1）直接设动点的坐标为，把已知条件用数学式子翻译出来并化简即可，同时要注意变量的取值范围；

（2）按直线的斜率存在不存在分类，斜率不存在时，直线方程为，直接求出坐标，计算出数量积；当直线斜率存在时，设交点坐标为，设方程为，代入曲线的方程，消去，由韦达定理可得，计算出数量积，并把代入可得关于的函数，再由不等式知识求得最大值．

试题解析：

（1）设，则．因为E到点A，与点B的斜率之积为，所以，整理得C的方程为．

（2）当l垂直于轴时，l的方程为，代入得， ．

．

当l不垂直于轴时，依题意可设，代入得

．因为，设， ．

则， ．

综上 ，当l垂直于轴时等号成立，故的最大值是．