Question

4．已知公差为d等差数列{a_n}满足d＞0，且a₂是a₁，a₄的等比中项．记b_n=a${\;}_{{2}^{n}}$（n∈N⁺），则对任意的正整数n均有$\frac{1}{{b}_{1}}$+$\frac{1}{{b}_{2}}$+…+$\frac{1}{{b}_{n}}$＜2，则公差d的取值范围是[$\frac{1}{2}，+∞$）．

Answer 1

分析 因为a₂是a₁和a₄的等比中项，所以（a₁+d）2=a₁（a₁+3d），继而求得a₁=d，从而$\frac{1}{{b}_{1}}+\frac{1}{{b}_{2}}+…+\frac{1}{{b}_{n}}$的式子即可求得，列式求解即得到d的取值范围．

解答 解：因为a₂是a₁和a₄的等比中项，所以（a₁+d）2=a₁（a₁+3d），
解得a₁=d＞0，所以a_n=nd，因此，b_n=2ⁿd，
故，$\frac{1}{{b}_{1}}+\frac{1}{{b}_{2}}+…+\frac{1}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{d}[\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}]$=$\frac{1}{d}[1-\frac{1}{{2}^{n}}]＜\frac{1}{d}≤2$，
所以，$d≥\frac{1}{2}$，
故答案为：[$\frac{1}{2}，+∞$）．

点评 本题主要考查等差数列和等比数列的综合应用，属于难度较大的题目，在高考中常在选择填空压轴出现．