Question

（2007•上海模拟）设z=x+yi（x，y∈R），i是虚数单位，满足4≤z+

64

z

≤10．
（1）求证：y=0时满足不等式的复数不存在．
（2）求出复数z对应复平面上的轨迹．

Answer 1

分析：（1）当y=0时，z=x≠0，则4≤x+

64

x

≤10⇒

x+ 64 x ≥4 x+ 64 x ≤10

⇒

x2-4x+64 x ≥0 x2-10x+64 x ≤0

，由

x2-4x+64

x

≥0，因为x²-4x+64＞0，则x＞0．由此能够证明满足不等式的复数不存在．
（2）4≤x+yi+

64(x-yi)

x2+y2

≤10，由题知：z+

64

z

必为实数．所以：

y- 64y x2+y2 =0 4≤x+ 64x x2+y2 ≤10

⇒y=0（舍）或x²+y²=64，2≤x≤5．由此能求出z所对应的轨迹．

解答：解：（1）证明：当y=0时，z=x≠0…（2分）
则4≤x+

64

x

≤10⇒

x+ 64 x ≥4 x+ 64 x ≤10

⇒

x2-4x+64 x ≥0 x2-10x+64 x ≤0

…（4分）
由

x2-4x+64

x

≥0，因为x²-4x+64＞0，则x＞0
由

x2-10x+64

x

≤0，因为x²-10x+64＞0，则x＜0
所以不等式无解，满足不等式的复数不存在．…（7分）
（2）解：4≤x+yi+

64(x-yi)

x2+y2

≤10，由题知：z+

64

z

必为实数…（9分）
所以：

y- 64y x2+y2 =0 4≤x+ 64x x2+y2 ≤10

⇒y=0（舍）或x²+y²=64，2≤x≤5…（12分）
所以z所对应的轨迹是以原点为圆心，以8为半径的圆弧．…（14分）

点评：本题考查复数的代数式表示法及其向何意义，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．