Question

现有两个函数f₁（x）=log_a（x-3a）与f₂（x）=log_a

1

x-a

，其中a＞0，a≠1．
（1）求函数F（x）=f₁（x）-f₂（x）的表达式与定义域；
（2）给出如下定义：“对于在区间[m，n]上有意义的两个函数f（x）与g（x），如果对任意x∈[m，n]，有|f（x）-g（x）|≤1，则称f（x）与g（x）在区间[m，n]上是接近的，否则称f（x）与g（x）在区间[m，n]上是非接近的．”若0＜a＜1，试讨论f₁（x）与f₂（x）在给定区间[a+2，a+3]上是否是接近的．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）函数f₁（x）=log_a（x-3a）的定义域为（3a，+∞），函数f₂（x）=log_a

1

x-a

的定义域为（a，+∞），求其交集即为函数F（x）=f₁（x）-f₂（x）的定义域，由对数的运算性质，可得函数F（x）=f₁（x）-f₂（x）的解析式；
（2）f₁（x）与f₂（x）接近?|log_a[（x-3a）（x-a）]|≤1，即a≤（x-3a）（x-a）≤

1

a

，由此构造关于a的不等式组，解不等式组可得两个函数接近时，a的取值范围．

解答： 解：（1）函数f₁（x）=log_a（x-3a）的定义域为（3a，+∞），
函数f₂（x）=log_a

1

x-a

的定义域为（a，+∞），
由a＞0，故3a＞a，
故函数F（x）=f₁（x）-f₂（x）=log_a[（x-3a）（x-a）]的定义域为（3a，+∞），
（2）∵0＜a＜1，
∴t=（x-3a）（x-a）在区间[a+2，a+3]上单调递增，
又由y=log_at为减函数，
∴f₁（x）与f₂（x）接近?|log_a[（x-3a）（x-a）]|≤1，
即a≤（x-3a）（x-a）≤

1

a

，
即

(a+2-3a)(a+2-a)≤a (a+3-3a)(a+3-a)≤ 1 a

，
解得：0＜a≤

9- 57

12

，
即当0＜a≤

9- 57

12

时，两个函数是接近的，
当

9- 57

12

＜a＜1时，两个函数是非接近的．

点评：本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，对数的运算性质，函数的定义域，新定义，综合性强，运算强度大，属于中档题目．