Question

根据下列已知条件求曲线方程．
（Ⅰ）求与双曲线

x2

16

-

y2

9

=1共渐近线且过A（2

3

，-3）点的双曲线方程；
（Ⅱ）求与椭圆

x2

4

+

y2

3

=1有相同离心率且经过点（2，-

3

）的椭圆方程．

Answer 1

考点：双曲线的标准方程,椭圆的标准方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）设与双曲线

x2

16

-

y2

9

=1共渐近线的双曲线方程，代入A（2

3

，-3），即可求出双曲线方程；
（Ⅱ）分类讨论，设出椭圆方程，代入点（2，-

3

），即可求出椭圆方程．

解答： 解：（Ⅰ）设与双曲线

x2

16

-

y2

9

=1共渐近线的双曲线方程为：

x2

16

-

y2

9

=λ(λ≠0)（2分）
∵点A（2

3

，-3）在双曲线上，
∴λ=

12

16

-

9

9

=-

1

4

…（4分）
∴所求双曲线方程为：

x2

16

-

y2

9

=-

1

4

，即

y2

9 4

-

x2

4

=1．…（5分）
（Ⅱ）若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=t（t＞0），将点（2，-

3

）代入，得t=2，
故所求方程为

x2

8

+

y2

6

=1．…（8分）
若焦点在y轴上，设方程为

y2

4

+

x2

3

=λ（λ＞0）代入点（2，-

3

），得λ=

25

12

，
∴

y2

25 3

+

x2

25 4

=1．…（10分）

点评：本题考查双曲线、椭圆的方程，考查待定系数法的运用，考查学生的计算能力，正确设出方程是关键．