Question

设a是实数，函数f（x）=4^x+|2^x-a|（x∈R）．
（1）求证：函数f（x）不是奇函数；
（2）当a≤0时，解关于x的方程f（x）=a²；
（3）当a＞0时，求函数y=f（x）的值域（用a表示）．

Answer 1

考点：指数型复合函数的性质及应用,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据奇函数定义，利用反证法证明
（2）讨论a的范围，解方程即可
（3）利用换元将函数变为二次函数，进而利用二次函数的单调性求值域

解答： 解：（1）证明：假设f（x）是奇函数，
 则对于一切x∈R，有f（-x）=-f（x），
∴f（-0）=-f（0），即f（0）=0，
又f（0）=4⁰+|2⁰-a|≥1，
矛盾，所以假设不成立，
故f（x）不是奇函数．
（2）∵2^x＞0，4^x＞0，
∴当a≤0时，f（x）=4^x+2^x-a，
由f（x）=a²，得4^x+2^x-a=a²，
即4^x+2^x-a（a+1）=0，
解得2^x=a（舍去）或2^x=-（a+1）；
∴当a+1≥0时，即-1≤a≤0时，原方程无解；
当a+1＜0，即a＜-1时，原方程的解为x=log₂[-（a+1）]．
（3）令t=2^x，则t＞0，原函数变成y=t²+|t-a|
∵a＞0
∴y=

t2-t+a，0＜t≤a t2+t-a， t＞a

，
对于0＜t≤a，有y=(t-

1

2

)2+a-

1

4

，
当0＜a＜

1

2

时，y是关于t的减函数，y的取值范围[a²，a）；
当a≥

1

2

时，y_min=a-

1

4

，
 

1

2

≤a＜1时，y的取值范围是[a-

1

4

，a），
 a≥1时，y的取值范围是[a-

1

4

，a²）；
对于t＞a，有y=t²+t-a=（t+

1

2

）²-a-

1

4

是关t的增函数，其取值范围（a²，+∞）．
综上可知，
当0＜a＜

1

2

时，函数y=f（x）的值域是[a²，+∞）；
当a≥

1

2

时，函数y=f（x）的值域是[a-

1

4

，+∞）．

点评：本题主要考察了函数的奇偶性以及复合函数的相关性质，综合性较强，属于难题．