Question

给出下列命题：
①在区间（0，+∞）上，函数y=x^-1，y=x

1

2

，y=（x-1）²，y=x³中有三个是增函数；
②若log_m3＜log_n3＜0，则0＜m＜n＜1；
③若函数f（x）是奇函数，则f（x-1）的图象关于点A（1，0）对称；
④函数f（x）=|x|•（|x|+|2-x|）-1有2个零点．
其中正确命题的序号为

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：画出基本初等函数的图象判断①；
由已知结合对数的换底公式及运算性质得到m，n的大小判断②；
由奇函数的对称性结合图象平移判断③；
分类求解函数f（x）=|x|•（|x|+|2-x|）-1的零点判断④．

解答： 解：对于①，分别作出函数y=x^-1，y=x

1

2

，y=（x-1）²，y=x³的图象如图，

由图可知，在区间（0，+∞）上，y=x

1

2

，y=x³是增函数，命题①错误；
对于②，由log_m3＜log_n3＜0，得

lg3

lgm

＜

lg3

lgn

＜0，
则lgn＜lgm＜0，0＜n＜m＜1，命题②错误；
对于③，若函数f（x）是奇函数，则其图象关于（0，0）对称，
∴f（x-1）的图象关于点A（1，0）对称，命题③正确；
对于④，f（x）=0，有|x|（|x|+|2-x|）-1=0，
当x＜0时，有-x（-x+2-x）-1=0，即2x²-2x-1=0，
此时方程有一个负根，函数有一个零点；
当0≤x≤2时，有x（x+2-x）-1=0，即2x-1=0，
此时方程有一个根，函数有一个零点；
当x＞2时，有x（x+x-2）-1=0，即2x²-2x-1=0，
此时方程没有适合条件的零点．
综上可得，此函数有两个零点错误．
∴正确命题的序号是③．
故答案为：③．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，突出考查基本初等函数的单调性，奇偶性及零点，属于中档题．