Question

已知常数a＞0，函数f（x）=ln（1+x）-

2ax

x+2

．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）有两个极值点x₁，x₂，求f（x₁）+f（x₂），并注明a的取值范围；
（3）若f′（x）是f（x）的导函数，f′（x）＞0，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）求导f′（x）=

1

1+x

-

4a

(x+2)2

=

1

(x+1)(x+2)2

（x²+（4-4a）x+4-4a），令g（x）=x²+（4-4a）x+4-4a，讨论g（x）的正负推导f′（x）的正负，从而推导f（x）的单调性；
（2）结合（1）可得f（x₁）+f（x₂）=f（2a-2-2

a(a-1)

）+f（2a-2+2

a(a-1)

），代入化简即可．
（3）由（1）可直接写出答案．

解答： 解：（1）∵f（x）=ln（1+x）-

2ax

x+2

，
∴f′（x）=

1

1+x

-

4a

(x+2)2

=

1

(x+1)(x+2)2

（x²+（4-4a）x+4-4a）；
①令g（x）=x²+（4-4a）x+4-4a，
当△=（4-4a）（4-4a）-4（4-4a）
=（4-4a）（4-4a-4）
=-16a（1-a）≤0，
即0＜a≤1时，g（x）≥0；
故f′（x）≥0，
故f（x）在定义域（-1，+∞）上是增函数；
②当a＞1时，4-4a＜0，故x²+（4-4a）x+4-4a=0有两个根，
且一正一负，
又∵g（-1）=1＞0，
∴x²+（4-4a）x+4-4a=0的两个根都大于-1；
x²+（4-4a）x+4-4a=0的两个根为
x₁=2a-2-2

a(a-1)

，x₂=2a-2+2

a(a-1)

；
故当x∈（-1，2a-2-2

a(a-1)

），（2a-2+2

a(a-1)

，+∞）时，
f′（x）＞0，f（x）是增函数；
当x∈（2a-2-2

a(a-1)

，2a-2+2

a(a-1)

）时，f′（x）＜0，
f（x）是减函数；
（2）由（1）知，当a＞1时，（x）有两个极值点x₁，x₂，
f（x₁）+f（x₂）=f（2a-2-2

a(a-1)

）+f（2a-2+2

a(a-1)

）
=ln（1+2a-2-2

a(a-1)

）+ln（1+2a-2+2

a(a-1)

）
-4a+

4a

2a-2 a(a-1)

+

4a

2a+2 a(a-1)

=0-4a+4a=0，
故f（x₁）+f（x₂）=0，a＞1；
（3）由（1）知，当0＜a＜1时，f′（x）＞0．
故a的取值范围为（0，1）．

点评：本题考查了导数的综合应用，属于中档题．