Question

（普通文科做）已知椭圆两条准线间的距离为4，椭圆上的点到右焦点的最近距离为

2

-1．求椭圆的标准方程及离心率．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：椭圆的准线方程为x=±

a2

c

，所以准线间的距离为

2a2

c

=4   ①，椭圆的右顶点到右焦点的距离最近，所以得到a-c=

2

-1   ②，所以解①②联立形成方程组即可得到a，c，而根据b²=a²-c²，可求出b²，这样即可得到椭圆的标准方程．

解答： 解：设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，则由已知条件得：

a-c= 2 -1 2a2 c =4

，解得a=

2

，或2-

2

；
∴

a= 2 c=1 b=1

，或

a=2- 2 c=3-2 2 b=8 2 -11

；
∴椭圆的标准方程为：

x2

2

+y2=1，或

x2

6-4 2

+

y2

249-176 2

=1；
离心率为：

2

2

，或

2- 2

2

．

点评：考查椭圆的标准方程，椭圆的准线方程，以及椭圆的右顶点到右焦点的距离最近，椭圆的离心率的计算公式：e=

c

a

．