Question

（2010•湖北模拟）如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面A₁ABB₁⊥BC，且A₁C与底面成45°角，AB=BC=2，则该棱柱体积的最小值为（　　）

• A．4

  3

• B．3

  3

• C．4
• D．3

Answer 1

分析：过A₁作A₁H⊥AB，垂足为H，连接HC，可以证出A₁H⊥面ABC，A₁H为三棱柱的高，∠A₁HC为 A₁C与底面成角，∠A₁HC=45°，A₁H为三棱柱的高与CH相等，而当CH⊥AB，即CH与CB重合时取得最小．

解答：解：过A₁作A₁H⊥AB，垂足为H，连接HC，
∵侧面A₁ABB₁⊥BC，A₁H?面A₁ABB₁，∴BC⊥A₁H，
∵AB∩BC=B，∴A₁H⊥面ABC，
A₁H为三棱柱的高．HC为A₁C在底面上的射影，
∠A₁HC为 A₁C与底面成角，∠A₁HC=45°，
∴△A₁HC 为等腰直角三角形，A₁H=CH，
当CH最小时，三棱柱的高最小，从而该棱柱体积最小．
而当CH⊥AB，即CH与CB重合时，取得最小值2
此时V=S_△ABC×A₁H=

1

2

×AB×BC×A₁H=

1

2

×2×2×2=4
故选C．

点评：本题考查线面垂直关系的应用、判定．线面角的意义，体积的计算．考查空间想象能力、转化、计算、推理论证能力．