Question

（2009•宁波模拟）已知f（x）是R上的单调函数，?x₁，x₂∈R，?x₀∈R，总有f（x₀x₁+x₀x₂）=f（x₀）+f（x₁）+f（x₂）恒成立．
（Ⅰ）求x₀的值；
（Ⅱ）若f（x₀）=1，且?_n∈N⁺，有a_n=

1

f(n)

，b_n=f（

1

2n

）+1，记S_n=

n

i=1

aiai+1，T_n=

n

i=1

bibi+1，
，比较

4

3

S_n与T_n的大小并给出证明；
（Ⅲ）若不等式a_n+1+a_n+2+…+a_2n＞

6

35

[log

1

2

(2x+1)-log

1

2

(8x2-2)+1]对?n≥2都成立，求x的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）令x₁=x₂=0，得f（0）=f（x₀）+2f（0），故f（x₀）=-f（0）；令x₁=1，x₂=0，得f（x₀）=f（x₀）+f（1）+f（0），故f（1）=-f（0）．所以f（x₀）=f（1），f（x）是R上的单调函数，由此能求出x₀的值．
（Ⅱ）由f（x₁+x₂）=f（1）+f（x₁）+f（x₂）=1+f（x₁）+f（x₂），知f（n+1）=1+f（n）+f（1）=f（n）+2，n∈N^*，所以f（n）=2n-1.an=

1

2n-1

，bn=f(

1

2 n

)+1=

1

2 n-1

．由此能比较

4

3

S_n与T_n的大小并给出证明．
（Ⅲ）令F（n）=a_n+1+a_n+1+…+a_2n，则F（n+1）-F（n）=a_2n+1+a_2n+2-a_n+1=

1

(2n+1)(4n+1)(4n+3)

＞0．当n≥2时，F(n)＞F(n-1)＞…＞F(2)=

12

35

故1+log

1

2

(8x2-2)＞log

1

2

(2x+1)，由此能x的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）令x₁=x₂=0，得f（0）=f（x₀）+2f（0），
∴f（x₀）=-f（0），①
令x₁=1，x₂=0，得f（x₀）=f（x₀）+f（1）+f（0），
∴f（1）=-f（0），②
由①、②知，f（x₀）=f（1），又f（x）是R上的单调函数，
∴x₀=1．　　　　　…（4分）
（Ⅱ）∵f（x₁+x₂）=f（1）+f（x₁）+f（x₂）=1+f（x₁）+f（x₂），
∴f（n+1）=1+f（n）+f（1）=f（n）+2，n∈N^*，
即数列{f（n）}是以2为公差1为首项的等差数列，
∴f（n）=2n-1．
∴an=

1

2n-1

，bn=f(

1

2 n

)+1=

1

2 n-1

．
S_n=a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1
=

1

1×3

+

1

3×5

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

2

(1-

1

2n+1

)．
∴

4

3

Sn=

2

3

(1-

1

2n+1

)，
T_n=

n

i=1

bibi+1
=(

1

2

)0(

1

2

)1+(

1

2

)1(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1(

1

2

)n
=

1

2

+(

1

2

)3+…+(

1

2

)2n-1
=

1 2 [1-( 1 4 )n]

1- 1 4

=

2

3

[1-(

1

4

)n]．
∵4ⁿ=（1+3）ⁿ=C_n⁰+C_n¹•3¹+C_n²•3²+…+C_nⁿ•3ⁿ＞3n+1＞2n+1，
∴

4

3

Sn＜Tn．…（10分）
（Ⅲ）令F（n）=a_n+1+a_n+1+…+a_2n，
则F（n+1）-F（n）=a_2n+1+a_2n+2-a_n+1=

1

4n+1

+

1

4n+3

-

1

2n+1

=

1

(2n+1)(4n+1)(4n+3)

＞0，
∴当n≥2时，F(n)＞F(n-1)＞…＞F(2)=

12

35

．…（12分）
an+1+an+2+…+a2n＞

6

35

[log

1

2

(2x+1)-log

1

2

(8x2-2)+1]对?n≥2都成立，
∴

12

35

＞

6

35

[log

1

2

(2x+1)-log

1

2

(8x2-2）+1]，
∴1+log

1

2

(8x2-2)＞log

1

2

(2x+1)，
∴

8x2-2＞0 2x+1＞0 1 2 (8x2-2)＜2x+1

，即

x＜- 1 2 ，或x＞ 1 2 x＞-  1 2 - 1 2 ＜x＜1

，
∴

1

2

＜x＜1．…（15分）

点评：本题首先考查数列的基本量、通项，结合含两个变量的不等式的处理问题，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．