Question

若函数f（x）=-3x+x³
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若方程f（x）=a（a为实数）在R上有三个不同实数根，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）先求导数fˊ（x）然后在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的区间为单调增区间，fˊ（x）＜0的区间为单调减区间．
（II）把判断方程f（x）=a何时有三个不同的实数根的问题，转化为判断两个函数何时有三个不同交点的问题，数形结合，问题得解．

解答：解：（Ⅰ）-3x+x³=2⇒x³-3x-2=0⇒x³+1-3x-3=0⇒（x+1）²（x-2）=0⇒x₁=x₂=-1，x₃=2．…（4分）
（Ⅱ）由f'（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）=0，得x=1或x=-1．
当x＜-1或x＞1时，f'（x）＞0；当-1＜x＜1时，f'（x）＜0，所以在（-∞，-1]和[1，+∞）
上f（x）单调递增，在[-1，1]上f（x）单调递减，在R上f（x）的极大值为f（-1）=2，
在R上f（x）的极小值为f（1）=-2…（8分）
函数方程f（x）=a在R上有三个不同的实数根，即直线y=a与函数f（x）=-3x+x³的图象有三个交点，
由f（x）的大致图象可知，当a＜-2或a＞2时，直线y=a与函数f（x）=-3x+x³的图象没有交点；
当a=-2或a=2时，y=a与函数f（x）=-3x+x³的图象有两个交点；
当-2＜a＜2时，直线y=a与函数f（x）=-3x+x³的图象有三个交点．
因此实数a的取值范围是-2＜a＜2．

点评：本题考查了函数的单调性，利用图象判断方程的根的个数．利用导数判断函数的单调性的步骤是：（1）确定函数的定义域；（2）求导数fˊ（x）；（3）在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）确定函数的单调区间．若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论．