Question

（本小题满分13分）如图，已知圆E:，点，P是圆E上任意一点．线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q．

（Ⅰ）求动点Q的轨迹的方程；

（Ⅱ）设直线与（Ⅰ）中轨迹相交于两点,直线的斜率分别为（其中

）．△的面积为, 以为直径的圆的面积分别为．若恰好构成等比数列, 求

的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

试题分析: （Ⅰ）由椭圆的定义结合题意分析可知动点Q的轨迹是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆，即可列出其轨迹方程；（Ⅱ）设直线的方程为，，,

联立直线方程和椭圆方程，整理得到关于的方程，根据韦达定理求出，借助于构成等比数列，即，解出，由弦长公式和点到直线距离公式分别确定和，进而求出，由圆的面积公式求出为定值，由不等式的性质，（当且仅当时等号成立）即可求出．

试题解析：

（Ⅰ）连结QF，根据题意，|QP|＝|QF|，则|QE|＋|QF|＝|QE|＋|QP|＝4，故动点Q的轨迹是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆． 2分

设其方程为，

可知，，则， 3分

所以点Q的轨迹的方程为． 4分

（Ⅱ）设直线的方程为，，

由可得，

由韦达定理有： 且 6分

∵构成等比数列，=，即：

由韦达定理代入化简得：．∵ ，． 8分

此时，即．

又由三点不共线得，从而．

故

10分

∵

则

为定值． 12分

∴

∴当且仅当时等号成立．

综上：的取值范围是． 13分

考点：1、椭圆的定义；2、弦长公式；3、最值问题．