Question

1．求下列关于x的不等式的解集．
（1）（1+x）（1-|x|）＞0；
（2）$\sqrt{4x{-x}^{2}}$＜x；
（3）$\frac{x-1}{x}$≥2；
（4）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4x+6，x≥0}\\{x+6，x＜0}\end{array}\right.$，f（x）＞f（1）；
（5）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{-x}-1，x≤0}\\{{x}^{\frac{1}{2}}，x＞0}\end{array}\right.$，f（x）＞f（1）

Answer 1

分析 分别根据不等式的解法进行求解即可．

解答 解：（1）若x≥0，则不等式等价为（1+x）（1-x）＞0，即（1+x）（x-1）＜0，解得-1＜x＜1，此时0≤x＜1，
若x＜0，则不等式等价为（1+x）（1+x）＞0，即x≠-1，此时x＜0且x≠-1；
综上不等式的解为x＜1且x≠-1，即不等式的解集为{x|x＜1且x≠-1}．
（2）由$\sqrt{4x{-x}^{2}}$＜x得$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{4x-{x}^{2}≥0}\\{4x-{x}^{2}＜{x}^{2}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{0≤x≤4}\\{x＞2或x＜0}\end{array}\right.$，解得2＜x≤4，即不等式的解集为（2，4]；
（3）由$\frac{x-1}{x}$≥2得$\frac{x-1}{x}$-2=$\frac{-1-x}{x}$≥0，即$\frac{x+1}{x}≤0$，解得-1≤x＜0，即不等式的解集为[-1，0）；
（4）∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4x+6，x≥0}\\{x+6，x＜0}\end{array}\right.$，∴f（1）=1-4+6=3，
当x≥0是，由f（x）＞3得x²-4x+6＞3，即x²-4x+3＞0，解得x＞3或x＜1，此时x＞3或0≤x＜1，
当x＜0是，由f（x）＞3得x+6＞3，即x＞-3，解得-3＜x＜0，
综上x＞3或-3＜x＜1，即不等式的解集为{x|x＞3或-3＜x＜1}；
（5）∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{-x}-1，x≤0}\\{{x}^{\frac{1}{2}}，x＞0}\end{array}\right.$，∴f（1）=1，
当x＞0时，由f（x）＞1得$\sqrt{x}＞1$，解得x＞1，
当x≤0时，由f（x）＞1得2^-x-1＞1．即2^-x＞2，解得-x＞1，即x＜-1，
综上x＞1或x＜-1，
即不等式的解集为{x|x＞1或x＜-1}．

点评 本题主要考查不等式的求解，要求熟练掌各种不等式的解法．