Question

13．判断下列函数奇偶性．
（1）f（x）=$\sqrt{{x}^{2}-4}$+$\sqrt{4-{x}^{2}}$
（2）f（x）=$\sqrt{x-4}$+$\sqrt{4-x}$
（3）f（x）=$\frac{\sqrt{9-{x}^{2}}}{|x+3|-3}$
（4）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x-1}&{（x＞0）}\\{-{x}^{2}+x+1}&{（x＜0）}\end{array}\right.$
（5）f（x）=（x-1）$\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$．

Answer 1

分析 首先判断定义域是否关于原点对称，如果不对称，是非奇非偶的函数；如果对称，再由奇偶函数的定义判断．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{{x}^{2}-4}$+$\sqrt{4-{x}^{2}}$的定义域为{x|x=±2}，f（x）=0，f（-x）=f（x）=-f（x）=0，所以f（x）既是奇函数又是偶函数；
（2）f（x）=$\sqrt{x-4}$+$\sqrt{4-x}$的定义域为{x|x=4}，关于原点不对称，是非奇非偶的函数；
（3）f（x）=$\frac{\sqrt{9-{x}^{2}}}{|x+3|-3}$定义域为{x|-3≤x≤3且x≠0}，f（x）=$\frac{\sqrt{9-{x}^{2}}}{|x+3|-3}$=$\frac{\sqrt{9-{x}^{2}}}{x}$，f（-x）=-f（x），为奇函数；
（4）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x-1}&{（x＞0）}\\{-{x}^{2}+x+1}&{（x＜0）}\end{array}\right.$定义域关于原点对称，x＞0时f（-x）=-x²-x+1=-f（x）；x＜0时，f（-x）=（-x）²-x-1=-（-x²+x+1）=-f（x），所以为奇函数；
（5）f（x）=（x-1）$\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$，定义域为{x|-1≤x＜1}，关于原点不对称，是非奇非偶的函数．

点评 本题考查了函数奇偶性的判断；首先判断定义域是否关于原点对称，如果对称，再由奇偶函数的定义判断．