Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PB⊥底面ABCD，AB∥CD，AD⊥AB，AB=2，AD=

2

，PB=3，E为CD上一点，EC=3，DE=1．
（1）证明：BE⊥平面PBC；
（2）求三棱锥B-PAC的体积．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由公演股定理得BE⊥BC，由线面垂直得PB⊥BE，由此能证明BE⊥平面PBC．
（2）由V_B-PAC=V_P-ABC，利用等积法能求出三棱锥B-PAC的体积．

解答： （本小题满分14分）
（1）证明：过B作CD的垂线交CD于F，则BF=AD=

2

，EF=AB-DE=1，FC=2
在Rt△BFE中，BE=

EF2+BF2

=

3

，
在Rt△BFC中，BD=

FC2+BF2

=

6

．
在△BCE中，∵BE²+BC²=BC²，∴BE⊥BC，
∵PB⊥底面ABCD，BE?平面ABCD，∴PB⊥BE，
又PB∩BC=B∴BE⊥平面PBC．…（8分）
（2）解：∵AB∥CD，AD⊥AB，∴四边形ABCD是梯形，
∴S_梯形ABCD=

1

2

×(2+4)×

2

=3

2

，S△ADC=

1

2

×4×

2

=2

2

，
∴S_△ABC=S_梯形ABCD-S_△ADC=3

2

-2

2

=

2

．
∴V_B-PAC=V_P-ABC=

1

3

S△ABC•PB=

1

3

×

2

×3=

2

．…（14分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查三棱锥体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．