已知函数.
(I)求函数的单调区间;
(II)若函数上是减函数,求实数的最小值;
(III)若,使成立,求实数的取值范围.
(I) (II) (III)
解析试题分析:由已知函数的定义域均为,且.
(Ⅰ)函数,
当时,.所以函数的单调增区间是. 3分
(Ⅱ)因f(x)在上为减函数,故在上恒成立.
所以当时,.
又,
故当,即时,,所以,故
所以的最小值为.
(Ⅲ)“若,使成立”等价于
“当时,有”,
有(Ⅱ),当时,有,,
问题等价于:“当时,有”
当时,由(Ⅱ),在上为减函数.
则,故.
当时,由于在上为增函数,
故的值域为,即.
由的单调性和值域知,唯一,使,且满足:
当时,,为减函数;
当时,,为增函数;
所以,=,.
所以,,与矛盾,不合题意.
综上,.
考点:利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.
点评:本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与最值,考查恒成立问题,同时考查不等式的证明,解题的关键是正确求导数,确定函数的单调性.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设函数是定义在区间上的偶函数,且满足
(1)求函数的周期;
(2)已知当时,.求使方程在上有两个不相等实根的的取值集合M.
(3)记,表示使方程在上有两个不相等实根的的取值集合,求集合.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知函数f(x)=x|x-a|-lnx,a∈R.
(Ⅰ)若a=1,求函数f(x)在区间[1,e]上的最大值;
(Ⅱ)若f(x)>0恒成立,求a的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
若函数都在区间上有定义,对任意,都有成立,则称函数为区间上的“伙伴函数”
(1)若为区间上的“伙伴函数”,求的范围。
(2)判断是否为区间上的“伙伴函数”?
(3)若为区间上的“伙伴函数”,求的取值范围
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