Question

13．定义在R上的奇函数f（x），当x∈（-∞，0）时，f（x）+xf'（x）＜0恒成立，若a=3f（3），b=（log_πe）f（log_πe），c=-2f（-2），则a，b，c的大小关系为b＜c＜a．

Answer 1

分析 由题意构造函数g（x）=xf（x），利用导数和条件判断函数g（x）的单调性，由f（x）是奇函数得出g（x）是偶函数，再根据偶函数的单调性求出a、b和c的大小．

解答 解：设g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+xf′（x），
∵当x∈（-∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0恒成立，
∴此时g′（x）=f（x）+xf′（x）＜0，
即函数g（x）在（-∞，0）上单调递减，
∵f（x）是奇函数，∴g（x）=xf（x）是偶函数，
则函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，
则a=3f（3）=g（3），b=（log_πe）•f（log_πe）=g（log_πe），
c=-2f（-2）=g（-2）=g（2），
∵0＜log_πe＜1＜2＜3，
∴g（log_πe）＜g（2）＜g（3），即b＜c＜a，
故答案为：b＜c＜a．

点评 本题主要考查导数与函数的单调性关系，函数奇偶性和单调性之间的关系，以及函数值的大小比较，构造函数法，正确构造函数是解决本题的关键．