Question

20．已知f（x）=x³+$\frac{1}{2}{x^2}$-ax．
（Ⅰ）当a=4时，求f（x）的极值；
（Ⅱ）若f（x）在（1，3）上不单调，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，根据函数的单调性，得到关于a的不等式，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）当a=4时，$f（x）={x^3}+\frac{1}{2}{x^2}-4x$…（1分），
∴f'（x）=3x²+x-4=（3x+4）（x-1）…（2分）
由f'（x）＞0得x＞1或$x＜-\frac{4}{3}$
由f'（x）＜0得$-\frac{4}{3}＜x＜1$，
∴f（x）在 （1，+∞）和$（{-∞，-\frac{4}{3}}）$上单调递增，在$[{-\frac{4}{3}，1}]$上单调递减…（4分）
∴$f{（x）_{极大值}}=f（-\frac{4}{3}）={（-\frac{4}{3}）^3}+\frac{1}{2}×{（-\frac{4}{3}）^2}-4×（-\frac{4}{3}）=\frac{104}{27}$，
$f{（x）_{极小值}}=f（1）=1+\frac{1}{2}-4=-\frac{5}{2}$，…（6分）
（Ⅱ）f'（x）=3x²+x-a，…（7分）
∴f'（x）在（1，3）上单调递增，…（8分）
所以，要使函数f（x）在区间（1，3）上不单调，
只需f'（1）f'（3）＜0，…（10分）
即（4-a）（30-a）＜0，
∴4＜a＜30．…（12分）

点评 本题考查了利用导数研究函数的极值与单调性，考查了等价转化方法、推理能力与计算能力，属于中档题．