Question

6．已知函数f（x）=cos（2x-$\frac{π}{2}$）-2x（x∈R）．
（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性和单调性：
（Ⅱ）是否存在实数m，使不等式f（2x-m+3）+f（x²-m²）≤0对x∈R恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请 说明理由．

Answer 1

分析 （1）对于函数f（x）=sin2x-2x，由f（-x）=-f（x），可得函数为奇函数．由f′（x）=2cos2x-2≤0，可得函数f（x）在R上单调递减．
（2）f（2x-m+3）+f（x²-m²）≤0对x∈R恒成立，即f（2x-m+3）＜f（m²-x² ）．可得2x-m+3＞m²-x²，即 x²+2x+3-m²-m＞0恒成立，再由△＜0，求得m的范围．

解答 解：（1）对于函数f（x）=cos（2x-$\frac{π}{2}$）-2x=sin2x-2x，由f（-x）=sin（-2x）-（-2x）=-sin2x+2x=-f（x），
可得函数为奇函数．
由f′（x）=2cos2x-2≤0，可得函数f（x）在R上单调递减．
（2）f（2x-m+3）+f（x²-m²）≤0对x∈R恒成立，即f（2x-m+3）＜-f（x²-m²）恒成立，
即 f（2x-m+3）＜f（m²-x² ）．
再根据函数f（x）在R上单调递减，可得2x-m+3＞m²-x²，即 x²+2x+3-m²-m＞0恒成立，
即△=4-4（ 3-m²-m）＜0，求得-2＜m＜1．

点评 本题主要考查函数的求偶性、单调性的判断和应用，函数的恒成立问题，属于中档题．