Question

1．已知函数f（x）=ax²+|x-a|（a∈R）
（1）当a=0时，写出f（x）的单调区间；
（2）当a=1时，求f（x）的最小值；
（3）试讨论关于x的方程f（x）=x³的解的个数．

Answer 1

分析 （1）将a=0代入，结合一次函数的图象和性质，可得分段函数的单调区间；
（2）将a=1代入，结合二次函数的图象和性质，可得分段函数的单调区间，进而得到函数的最小值；
（3）当x=a时，满足条件；当x＞a时，原方程可化为：（x²-1）（x-a）=0，解得：x=-1，或x=1； 当x＜a时，原方程可化为：（x²+1）（x-a）=0，此时方程组无解；讨论a与±1的大小关系，可得方程f（x）=x³的解的个数．

解答 解：（1）当a=0时，数f（x）=|x|=$\left\{\begin{array}{l}-x，x＜0\\ x，x≥0\end{array}\right.$，
则函数的单调递减区间为（-∞，0]；单调递增区间为[0，+∞）；
（2）当a=1时，f（x）=x²+|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}-x+1，x＜1\\{x}^{2}+x-1，x≥1\end{array}\right.$，
函数的图象如下图所示：

由图可知：函数的单调递减区间为（-∞，$\frac{1}{2}$]；单调递增区间为[$\frac{1}{2}$，+∞）；
故当x=$\frac{1}{2}$时，函数取最小值$\frac{3}{4}$；
（3）令f（x）=x³，
则ax²+|x-a|=x³，
即x²（x-a）-|x-a|=0，
当x=a时，满足条件；
当x＞a时，原方程可化为：（x²-1）（x-a）=0，解得：x=-1，或x=1；
当x＜a时，原方程可化为：（x²+1）（x-a）=0，此时方程组无解；
∴a≥1时，方程f（x）=x³有1个解；
-1≤a＜1时，方程f（x）=x³有2个解；
a＜-1时，方程f（x）=x³有3个解；

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的单调性，函数的最值，方程根的个数，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．