Question

9．已知f（x）为R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=-2x²+3x+1，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析 设x＜0，得-x＞0，由已知求f（-x）的表达式，再由f（x）是奇函数，可得x＜0时f（x）的解析式；f（x）是定义在R上的奇函数，得f（0）=0，可得f（x）在R上的解析式．

解答 解：设x＜0，则-x＞0，∵x＞0时，f（x）=-2x²+3x+1，
∴f（-x）=-2（-x）²+3（-x）+1=-2x²-3x+1；
又∵f（x）是R上的奇函数，∴f（-x）=-f（x），
∴-f（x）=-2x²-3x+1，∴f（x）=2x²+3x-1；
即x＜0时，f（x）=2x²+3x-1．
∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0；
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}+3x-1，x＜0}\\{0，x=0}\\{-2{x}^{2}+3x+1，x＞0}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了利用奇函数的定义求函数的解析式的问题，是基础题．