Question

16．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）在一个周期内的图象如图所示．
（]）求f（x）其解析式；
（2）求f（x）的对称中心；
（3）方程f（x）-m=0在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上有两个解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由图象可得A值，由周期公式可得ω，代入（$\frac{π}{12}$，2）可得φ值，可得解析式；
（2）解2x+$\frac{π}{3}$=kπ可得对称中心坐标；
（3）问题等价于y=m和y=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上有两个不同交点，数形结合可得．

解答 解：（1）由图象可得A=2，周期T=$\frac{2π}{ω}$=2（$\frac{7π}{12}$-$\frac{π}{12}$），解得ω=2，
∴f（x）=2sin（2x+φ）代入（$\frac{π}{12}$，2）可得2=2sin（$\frac{π}{6}$+φ），
结合0＜φ＜$\frac{π}{2}$可得φ=$\frac{π}{3}$，故f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）；
（2）令2x+$\frac{π}{3}$=kπ可解得x=$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$（k∈Z），故对称中心为（$\frac{kπ}{2}$-$\frac{π}{6}$，0），k∈Z；
（3）∵方程f（x）-m=0在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上有两个解，
∴m=f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上有两个解，
∴y=m和y=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上有两个不同交点，
作出函数y=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）在x∈[0，$\frac{π}{2}$]上的图象，
当x=0时，sin（2x+$\frac{π}{3}$）取最小值$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
当x=$\frac{π}{12}$时，sin（2x+$\frac{π}{3}$）取最大值1，
数形结合可得m的范围为[$\sqrt{3}$，2）．

点评 本题考查三角函数图象和解析式，数形结合是解决问题的关键，属中档题．