【题目】(题文)已知函数.
(Ⅰ)若在区间上单调递增,求实数的取值范围;
(Ⅱ)若存在唯一整数,使得成立,求实数的取值范围.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ).
【解析】
试题分析:(1)本问考查利用导数研究函数单调性,由函数在区间上单调递增,则在上恒成立,即在上恒成立,采用参变分离的方法,将问题转化为在上恒成立,设函数,于是只需满足即可,问题转化为求函数的最小值;(2)存在唯一整数,使得,即,于是问题转化为存在唯一一个整数 使得函数图像在直线下方,于是可以画出两个函数图像,结合图像进行分析,确定函数在时图像之间的关系,通过比较斜率大小来确定的取值范围.
试题解析:(1)函数的定义域为,,
要使在区间上单调递增,只需,即
在上恒成立即可,
易知在上单调递增,所以只需即可,
易知当时,取最小值,,
∴实数的取值范围是.
(2)不等式即,
令,
则,在上单调递增,
而,
∴存在实数,使得,
当时,,在上单调递减;
当时,,在上单调递增,∴.
,画出函数和的大致图象如下,
的图象是过定点的直线,
由图可知若存在唯一整数,使得成立,则需,
而,∴.
∵,∴.
于是实数的取值范围是.
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【题目】已知函数.
(1)若, 都是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数,求上述函数有零点的概率;
(2)若, 都是从区间上任取的一个数,求成立的概率.
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【题目】如图,在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面四边形ABCD为菱形,A1A=AB=2,∠ABC= ,E,F分别是BC,A1C的中点.
(1)求异面直线EF,AD所成角的余弦值;
(2)点M在线段A1D上, =λ.若CM∥平面AEF,求实数λ的值.
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【题目】(本题14分)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗(吨)标准煤的几组对照数据:
3 | 4 | 5 | 6 | |
2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
(1)请画出上表数据的散点图;并指出x,y 是否线性相关;
(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于的线性回归方程;
(3)已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤,试根据(2)求出的线性回归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤?
(参考:用最小二乘法求线性回归方程系数公式,)
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【题目】某市电视台为了宣传举办问答活动,随机对该市15~65岁的人群抽样了人,回答问题计结果如下图表所示:
(1)分别求出的值;
(2)从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人,则第2,3,4组每组各抽取多少人?
(3)在(2)的前提下,电视台决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖,求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为 (θ为参数),以O为极点,x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系.
(1)求圆C的极坐标方程;
(2)若直线l的极坐标方程是 ,射线 与圆C的交点为O、P,与直线l的交点为Q.求线段PQ的长.
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