Question

【题目】已知函数f （x）= ．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并加以证明．

Answer 1

【答案】
（1）解：由x2﹣1≠0得：x≠±1，

故函数f （x）= 的定义域为：{x|x≠±1}

（2）解：函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，理由如下：

证法一：∵f （x）= ．

∴f′（x）= ．

当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0恒成立，

故函数f（x）在（1，+∞）上为减函数；

证法二：任取a，b∈（1，+∞），且a＜b，

则a2﹣1＞0，b2﹣1＞0，b+a＞0，b﹣a＞0，

则f（a）﹣f（b）= ﹣ = = ＞0，

故f（a）＞f（b），

故函数f（x）在（1，+∞）上为减函数

【解析】（1）解x2﹣1≠0得f（x）的定义域；（2）函数f（x）在（1，+∞）上为减函数
证法一：求导，分析导函数在（1，+∞）上的符号，可得结论；
证法二：任取a，b∈（1，+∞），且a＜b，作差比较f（a）与f（b）的大小，结合单调性的定义，可得结论；
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的定义域及其求法的相关知识，掌握求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①是整式时，定义域是全体实数;②是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数;③是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合;④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1,零（负）指数幂的底数不能为零，以及对函数单调性的判断方法的理解，了解单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较．