【题目】在平面直角坐标系中,椭圆
:
的离心率是
,且直线
:
被椭圆
截得的弦长为
.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)若直线与圆
:
相切:
(i)求圆的标准方程;
(ii)若直线过定点
,与椭圆
交于不同的两点
、
,与圆
交于不同的两点
、
,求
的取值范围.
【答案】(I);(II)(i)
;(ii)
.
【解析】试题分析:(Ⅰ)由直线过定点
,
,可得到
,再结合
,即可求出椭圆的方程;(Ⅱ)(i)利用圆的几何性质,求出圆心到直线
的距离等于半径,即可求出
的值,即可求出圆
的标准方程;(ii)首先设直线
的方程为
,利用韦达定理即可求出弦长
的表达式,同理利用圆的几何关系可求出弦长
的表达式,即可得到
的表达式,再用换元法
,即可求出
的取值范围.
试题解析:
解:(Ⅰ)由已知得直线过定点
,
,
,
又,
,解得
,
,
故所求椭圆的标准方程为
.
(Ⅱ)(i)由(Ⅰ)得直线的方程为
,即
,
又圆的标准方程为
,
∴圆心为,圆的半径
,
∴圆的标准方程为
.
(ii)由题可得直线的斜率存在,
设:
,与椭圆
的两个交点为
、
,
由消去
得
,
由,得
,
,
,
∴.
又圆的圆心
到直线
:
的距离
,
∴圆截直线
所得弦长
,
∴,
设,
,
则,
∵的对称轴为
,在
上单调递增,
,
∴,
∴.
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【题目】在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知acosB+bcosA=2ccosC.
(1)求角C的大小;
(2)若a=5,b=8,求边c的长.
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【题目】甲、乙两家商场对同一种商品展开促销活动,对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下:
甲商场:顾客转动如图所示转盘,当指针指向阴影部分(图中两个阴影部分均为扇形,且每个扇形圆心角均为,边界忽略不计)即为中奖.
乙商场:从装有4个白球,4个红球和4个篮球的盒子中一次性摸出3球(这些球初颜色外完全相同),如果摸到的是3个不同颜色的球,即为中奖.
(Ⅰ)试问:购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大?说明理由;
(Ⅱ)记在乙商场购买该商品的顾客摸到篮球的个数为,求
的分布列及数学期望.
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【题目】已知函数,其中常数
.
(1)若在
上单调递增,求
的取值范围;
(2)令,将函数
的图象向左平移
个单位,再向上平移1个单位,得到函数
的图象.区间
满足:
在
上至少含有30个零点.在所有满足上述条件的
中,求
的最小值.
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【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD⊥平面ABCD,点M在线段PB上,PD∥平面MAC,PA=PD= ,AB=4.
(1)求证:M为PB的中点;
(2)求二面角B﹣PD﹣A的大小;
(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.
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